Расширение "Линейная алгебра"

Наиболее простой способ создания вектора в тексте статьи состоит в использовании функции massiv(s), где строка s содержит значения элементов вектора, разделённые пробелами.

Все или часть элементов вектора могут быть заданы в формате ключ:значение. Если задан ключ, то он становится индексом данного значения в векторе. Если ключ не задан, индексом становится очередное числовое значение.

Данные вектора могут быть извлечены из секции структурированного файла как Массивы Ключ/Значение или как элементы объектов данных Массивы структурированных записей. Примеры подобного рода манипуляций с данными рассматриваются в этой статье далее при рассмотрении примера использования функций данного расширения при решении задачи построения множественной линейной регрессии.

Функция vxs(v,s) осуществляет умножение вектора v на скаляр s.

Функция vxv(x,y) осуществляет скалярное умножение векторов x и y. Вектора могут иметь разную длину и разную индексацию. Базисом является левый вектор. Учитываются только те элементы вектора y, которые имеют индексы, совпадающие с индексами элементов вектора x.

Скалярное произведение векторов x и y равно 12

Скалярное произведение векторов x и y равно 10

Из приведённого примера можно видеть, что при вычислении использованы только элементы с индексами, которые имеются в обоих векторах: a и b.

Функция smt(s) создаёт матрицу из строки текста. Разделителем строк матрицы является символ ; (точка с запятой). Выделенные подстроки могут содержать разделённые пробелами значения элементов матрицы или данные в формате ключ:значение.

Другая возможность создания матрицы в тексте статьи состоит в том, чтобы каждой строке матрицы присвоить одномерный массив - её строку. Это связано с тем, что матрица в системе представляется как массив одномерных массивов.

Данные векторов и матриц могут быть извлечены из секций структурированных файлов или отдельных текстовых файлов как Массивы Ключ/Значение или как элементы объектов данных Массивы структурированных записей. Примеры подобного рода манипуляций с данными рассматриваются в этой статье далее при рассмотрении примера использования функций данного расширения при решении задачи построения уравнения множественной линейной регрессии.

Функция vxm(v,m) осуществляет левое умножение вектора v на матрицу m. Результатный вектор имеет столько же элементов, сколько столбцов имеет матрица m. При вычислении скалярных произведений вектора v на соответствующие столбцы матрицы m учитываются только те элементы столбца матрицы, которые имеют индексы, совпадающие с индексами элементов вектора v.

В данном примере вектор и матрицу создадим прямо в тексте статьи.

По результату можно видеть, что элемент с индексом 2 вектора в вычислениях не участвует, поскольку ни в одном столбце матрицы m нет элемента с таким же индексом.

Функция mxv(m,v) осуществляет левое умножение матрицы m на вектор v. Результатный вектор имеет столько же элементов, сколько строк имеет матрица m. При вычислении скалярных произведений строк матрицы m на вектор v учитываются только те элементы строки, которые имеют индексы, совпадающие с индексами элементов вектора v. Индексами результатного вектора являются индексы соответствующих строк матрицы m.

В данном примере используем уже созданные в предыдущем примере матрицу и вектор. Их значения на текущий момент сохранились, поскольку строки статьи обрабатываются последовательно.

По результату можно видеть, что в результирующем векторе всего два элемента (по количеству строк матрицы) и все элементы строк задействуются в вычислениях.

Функция mxs(m,s) осуществляет умножение каждого элемента матрицы m на скаляр s.

Функция mpm(x,y) осуществляет покомпонентное сложение матриц x и y. Если какая-то строка матрицы x отсутствует в матрице y, то она переписывается в результатную матрицу без изменений. Если какая-то строка матрицы y отсутствует в матрице x, то она также переписывается в результатную матрицу без изменений. Если строки с одноимёнными индексами присутствуют в обоих матрицах, то элементы с одинаковыми индексами столбцов складываются. Если в строке матрицы x имеются элементы с индексами, отсутствующими в матрице y, то они копируются в результатную матрицу без изменений. Если в строке матрицы y имеются элементы с индексами, отсутствующими в матрице x, то они копируются в результатную матрицу без изменений. Таким образом, функция mpm осуществляет не только сложение элементов двух матриц, но и объединение разреженных матриц.

Пример с полностью заполненными матрицами одинаковой размерности.

Пример с разреженными матрицами.

В приведённом примере сначала "стирается" содержимое матриц x (~x=massiv("")) и y (~y=massiv("")). Это необходимо, поскольку при построчном заполнении уже существующие строки сохраняются, а в предыдущих примерах статьи матрицы x и y уже чем-то заполнялись. В матрице x нет строки d, которая есть в y, а в матрице y нет строки c. Поэтому они просто переписываются в результатную матрицу без изменений. Элементы с индексами (a,a);(a,b);(b,b) имеются в обоих матрицах и потому они складываются. Элемент с индексом (a,с) имеется в матрице x, но отсутствует в матрице y. Поэтому он просто переносится в строку a результата. С другой стороны, элемент (a,e) присутствует в матрице y, но отсутствует в матрице x. Он также заносится в результат. То же касается и части элементов строки b обеих матриц.

Функция mmm(x,y) осуществляет покомпонентное вычитание из элементов матрицы x соответствующих элементом матрицы y. Если какая-то строка матрицы x отсутствует в матрице y, то она переписывается в результатную матрицу без изменений. Если какая-то строка матрицы y отсутствует в матрице x, то она также переписывается, но с обратными знаками элементов. Если строки с одноимёнными индексами присутствуют в обоих матрицах, то элементы с одинаковыми индексами столбцов вычитаются. Если в строке матрицы x имеются элементы с индексами, отсутствующими в матрице y, то они копируются в результатную матрицу без изменений. Если в строке матрицы y имеются элементы с индексами, отсутствующими в матрице x, то они копируются в результатную матрицу со знаком минус. Таким образом, функция mmm осуществляет не только вычитание элементов двух матриц, но и объединение разреженных матриц.

Пример с полностью заполненными матрицами одинаковой размерности.

Пример с разреженными матрицами.

Функция tm(m) осуществляет транспонирование матрицы m.

В следующем примере транспонируется разреженная матрица y, построенная в предыдущем примере.

Функция mxm(x,y) осуществляет умножение матриц общего вида. Формирование элементов результатной матрицы осуществляется по правилам выполнения скалярного произведения соответствующих строк левой матрицы на столбцы правой, используемым в рассмотренной ранее функции vxv.

Пример с полностью заполненными матрицами одинаковой размерности.

Пример с индексированными матрицами.

Функция om(x[,r]) осуществляет вычисление обратной матрицы общего вида. Если матрица является вырожденной, то функция возвращает пустой массив. Если указан второй ненулевой параметр, то функция om() выводит трассировку своих действий по преобразованию исходной матрицы в обратную. По умолчанию он равен нулю, то есть трассировка действий отключена.

В данном примере проверка производится перемножением исходной матрицы на обратную, в результате чего получаем единичную матрицу.

Пример, когда матрица является вырожденной:

В данном примере vmt() ничего выводит, поскольку у неё на входе пустой массив. Чтобы посмотреть, на каком шаге алгоритма выявлена вырожденность матрицы, устанавливаем ненулевым параметр r.

Из результатов вывода видно, что на нулевом шаге алгоритм "обнулил" все элементы нулевого столбца исходной матрицы (a -> 0), кроме диагонального (0,0). На первом шаге - первый столбец исходной матрицы (a -> 1). Но следующий этап преобразований осуществлён быть не может, поскольку в результате преобразований строка два оказалась нулевой, то есть линейно зависимой от двух других. Выявив это, алгоритм прекратил работу и вернул пустой массив.

Пример с индексированными матрицами.

Функция rslu(m,v) осуществляет решение системы линейных уравнений вида Mx=v. Её параметрами являются матрица m и вектор v. Если матрица является вырожденной, то функция возвращает пустой массив.

Проверка состоит в перемножении матрицы m на вектор результата вычислений. В результате получаем исходный вектор v.

Функция vuv(x,y) производит покомпонентное перемножение векторов x и y. В результат попадают только те произведения элементов вектора x для которых имеется элемент вектора y с одноимённым индексом.

Функция vpv(x,y) производит покомпонентное сложение векторов x и y. В результат попадают только суммы элементов вектора x с одноимёнными элементами вектора y.

Функция vmv(x,y) производит покомпонентное вычитание векторов x и y. В результат попадают только разности элементов вектора x с одноимёнными элементами вектора y.

Функция vdv(x,y) производит покомпонентное деление элементов вектора x на одноимённые компоненты вектора y, если последние не равны нулю.

При построении уравнения множественной линейной регрессии можно использовать каноническую матричную формулу - ((XT*X)^-1)*XT*Y, где:

Указанная формула может быть записана как следующая суперпозиция рассмотренных ранее функций:

Данные для рассматриваемого далее примера получены из открытых источников. В примере предполагается, что исследуется зависимость выпуска продукции (y) от затрат труда (x1) и затрат капитала (x2). Выдвинуто предположение, что x1 и x2 связаны с y зависимостью:

Наблюдения за указанными переменными представлены в следующей таблице.

Основываясь на этих данных следует построить уравнение линейной регрессии y=a0+a1*x1+a2*x2.

Сначала предположим, что данные задаются прямо в статье и потому будем создавать матрицу значений переменных x1 и x2 построчно, а все необходимые вычисления будем производить последовательно и с комментариями.

Формируем вектор значений зависимой переменной y:

~y=massiv('203 88 110 56 80 237 160 75')

@vvt(y)

Построенная нами матрица xt является транспонированной по отношению к матрице данных с наблюдениями за независимыми переменными, поскольку в ней строками должны быть наблюдения, а столбцами - переменные. Поэтому матрицу x можно получить транспонированием матрицы xt.

~x=tm(xt)

@vmt(x)

Перемножаем матрицы xt и x.

~u=mxm(xt,x)

@vmt(u)

Вычисляем обратную к u матрицу.

~u=om(u)

@vmt(u)

Перемножаем транспонированную матрицу данных с наблюдениями за независимыми переменными на вектор наблюдений за зависимой переменной:

~w=mxv(xt,y)

@vmt(w)

Получаем окончательный результат, перемножая матрицу u на вектор w:

~b=mxv(u,w)

@vmt(b)

Всё то же самое можно было бы вычислить всего одной формулой:

~r=mxv(mxm(om(mxm(tm(x),x)),tm(x)),y)

@vvt(r)

Исходные данные для решения задачи формирования уравнения множественной линейной регрессии можно собрать из содержимого отдельных секций и файлов. Например, в данной статье имеется секция mkz следующего содержания:

Как видно, она включает те же данные, что и формировались нами прямо в тексте статьи при рассмотрении предыдущих примеров. Данные секции представляют собой исходный материал для формирования объектов типа Массивы Ключ/Значение. Для их загрузки с выполнением необходимых трансформаций можно использовать функцию mkz() (см. предыдущую ссылку).

~d=mkz("*~mkz")

@vmt(d)

Теперь переменная d содержит двумерный массив, содержащий необходимые данные. Однако для использования рассмотренного выше алгоритма их надо трансформировать так, чтобы значения зависимой переменной (вектор у) оказались в отдельном массиве, а значения независимых переменных были бы скомпонованы в матрицу xt, в которой во всей первой строке проставлены единицы, а последующие строки заняты данными из строк x1 и x2 матрицы d. Для достижения этого результата можно выполнить следующие действия.

Количество элементов вектора y равно 8

Для вычисления числа элементов вектора y использована функция ke(u) (синоним count), которая возвращает число элементов массива u. Для заполнения строки x0 единицами использована функция zv(z,n), возвращающая массив, содержащий n элементов, каждый из которых имеет значение z.

Теперь нужно ещё получить массив x путём транспонирования xt.

~x=tm(xt)

@vmt(x)

Нужные для выполнения представленного алгоритма структуры данных сформированы и можно применить общую расчётную формулу.

~q=mxv(mxm(om(mxm(tm(x),x)),tm(x)),y)

@vvt(q)

В только что рассмотренном примере данные по каждой переменной располагались в отдельной строке. Такой подход хорошо пригоден для размещения небольших массивов данных. Для больших массивов более приемлем вариант, когда каждая переменная занимает отдельный столбец, а строки содержат соответствующие значения для каждой переменной. Подготовленные таким образом данные являются исходным материалом для формирования объектов типа Массивы структурированных записей.

С массивами структурированных записей также можно выполняться самые разные манипуляции, позволяющие подготовить необходимые для работы того или иного алгоритма структуры данных. Например, в данной статье имеется секция msz, содержащая следующие данные.

Здесь содержатся те же данные, но в другом формате, в котором значения переменных размещены в отдельных колонках. Первая строка определяет, что разделителем колонок в каждой строке является пробел (rk:$p). Вторая строка определяет имена колонок (x1,x2,y). Далее следуют строки, в каждой из которых имеется по три числа. Первое - относится к переменной x1, второе - к x2, третье - к y.

Для загрузки таким образом организованного массива структурированных записей самым простым способом является использование функции msz() [подробнее см. Массивы структурированных записей. ].

~d=msz("*~msz")

@vmt(d)

Вынимаем колонку y в отдельный массив.

~y=mszpk(d,'y')

@vvt(y)

Вставляем в массив xt строку из единиц и переносим в его строки x1 и x2 данные из одноимённых колонок d.

~xt('x0')=zv(1,ke(y))

@xt('x1')=mszpk(d,'x1')

@xt('x2')=mszpk(d,'x2')

@vmt(xt)

Получаем x транспонированием xt.

~x=tm(xt)

@vmt(x)

Всё готово. Можно применять уже апробированную формулу.

~p=mxv(mxm(om(mxm(tm(x),x)),tm(x)),y)

@vvt(p)